Demostración del Teorema de Tales,

por métodos elementales


Pedro Pescador Díaz

I.E.S. "Juana de Pimentel"

Arenas de San Pedro (Ávila)


Abstract

In this article a demonstration or Tales' Theorem is given. It uses elemental resources it also tries to avoid any matter related to irrationals.

En este artículo se da una demostración del teorema de Tales que utiliza recursos elementales y además evita cualquier aspecto que sea concerniente a los números irracionales.


1 Introducción

Respecto a la demostración clásica hay que mencionar la siguientes diferencias:

- Aunque es menos intuitiva, también es muy sencilla, lo que nos permite hacerla en el aula. La ventaja es que con el proceso de la demostración se puede aprender, por ejemplo, a dividir un problema, a ver si se cumplen las hipótesis, a saber para que conjunto se ha demostrado o es válida una tesis, etc.

- Es válida aunque la razón de semejanza sea un número irracional.

Quizás pueda sorprender el hecho de utilizar superficies para demostrar relaciones entre longitudes de segmentos. No obstante cabe pensar que el teorema de Tales también es deducible del teorema de Pitágoras, que expresa claramente una relación entre los 'cuadrados' de los lados de un triángulo rectángulo. Además, es la sencillez con la que se puede demostrar la proporcionalidad entre los catetos de triángulos rectángulos semejantes, como se ve en la figura 1 y la posibilidad de hacer lo mismo con las hipotenusas, sin recurrir al teorema de Pitágoras, lo que inclina la balanza a favor de su uso.

 

2 En el aula

Interesa el proceso más que el resultado. Este es elemental, intuitivo y ya está aceptado por los alumnos.

Es en "El Taller de Matemáticas" o en 1º de Bachillerato antes de dar la trigonometría, donde se puede hacer con más provecho el estudio que se propone, debido a que los alumnos están especialmente motivados.

 

2.1 Los alumnos deben saber:

- La definición de triángulos semejantes. Conviene pulirla, para la semejanza de triángulos sólo es necesario exigir que dos ángulos de uno sean respectivamente iguales a los homólogos del otro triángulo.

- Que si en una proporción las razones tienen el mismo consecuente (denominador) deben tener el mismo antecedente (numerador).

- Las siguientes propiedades de las proporciones:

Nota: En este artículo todos los números son siempre mayores que cero.

- Conocer la diferencia entre los números racionales y los irracionales.

- En cuanto al método, deben tener una idea global del proceso, asumir la conveniencia de dividir la demostración y resolver cada una de las partes.

 

2.2 Objetivos:

Nos proponemos que los alumnos sean capaces de:

- Dividir un problema si lo ven oportuno.

- Utilizar las propiedades de las proporciones.

- Utilizar de figuras, segmentos (alturas, particiones de la hipotenusa), algunos de los cuales naturalmente no aparecen en el enunciado y deben ponerse por propia iniciativa y a su conveniencia.

- Usar letras para señalar a los triángulos, los ángulos y los segmentos.

- Auxiliarse de los resultados previamente obtenidos.

- Observar si se cumplen las condiciones que nos permiten aplicar un teorema.

- Darse cuenta que el uso de una hipótesis crea en la tesis la natural dependencia de la misma. Idem al usar un teorema en la demostración de otro.

 

2.3 Actividades iniciales. El problema de la demostración clásica:

Para que los alumnos experimenten con la validez y la dificultad del método clásico, el profesor, tras utilizar éste para demostrar la proporcionalidad de los lados en un caso sencillo, sea por ejemplo

Cuando se dan cuenta de lo que ocurre se les propone, como alternativa, la demostración que se expone en el artículo.

 

2.4 Idea global del proceso a seguir:

- Dividir el teorema en sus partes: ( ) y ( ).

( ) Demostración de la proporcionalidad de los lados a partir de la igualdad de los ángulos. Se procede:

- Dividiendo a los triángulos en dos tipos, los rectángulos y el resto.

-- Para el caso de los rectángulos se subdivide la cuestión de la proporcionalidad viendo primero la que hay entre los catetos y luego la de las hipotenusas con éstos.

-- Una vez alcanzada la tesis para los triángulos rectángulos se demuestra la validez para un triángulo cualquiera dividiendo a éste en triángulos rectángulos.

() Demostración de la semejanza a partir de la proporcionalidad de los lados. Se usa el recurso de:

- Valerse de un tercer triángulo T" especialmente diseñado, semejante a T y con un lado igual al homólogo de T'.

 

2.5 Indicaciones en las cuestiones pormenorizadas.

- Para la proporcionalidad de los catetos se les presenta la Figura 1 y la expresión que tienen que demostrar. La primera cuestión es que decidan si con la hipótesis se puede construir la figura. Después, según el nivel que tengan los alumnos, se les puede ayudar, sea pidiendo que quiten los denominadores sea pidiendo que calculen el área de los rectángulos.

- Para demostrar la proporcionalidad de las hipotenusas se les debiera ocurrir usar el Teorema de Pitágoras, habría que dejarles hacerlo y discutir sobre la dependencia creada motivándoles para evitarla. De cualquier forma conviene que realicen la demostración subdividiéndola en las siguientes partes:

-- Poner las hipotenusas como bases y ver que son proporcionales a las alturas. Después de haber insistido en que es conveniente dividir, tienen aquí su oportunidad.

-- Observar que hay dos maneras de calcular la superficie de cada triángulo, hacer el cociente de las expresiones.

-- En el cociente obtenido, utilizar la proporcionalidad de las hipotenusas y las alturas para eliminar las alturas y la de los catetos para eliminar uno de ellos y encontrar la proporcionalidad de las hipotenusas y los catetos. Obsérvese que es un proceso de 'simplificación' de una expresión con el concurso de otras.

 

 

 

3 Teoría.

3.1 Definición

Dos triángulos T y T' son semejantes si y sólo si tienen los ángulos respectivamente iguales.

Nota: En todos los triángulos por lo que es suficiente que dos ángulos sean respectivamente iguales para que los triángulos sean semejantes.

 

3.2 Teorema de Tales

Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen los lados proporcionales.

Demostración:

Los triángulos semejantes tienen los lados proporcionales.

* Si uno de los ángulos es recto, sea A = A' = 90°

La semejanza de los triángulos nos permite colocarlos como se encuentran en la siguiente figura.


Fig. 1

Al considerar que los tres triángulos que se encuentran por encima de la diagonal son respectivamente iguales a los que se encuentran por debajo de ella, resulta que los rectángulos que hay a ambos lados de la diagonal tienen la misma área. Luego:

y por lo tanto ( 1 )

Queda demostrado que en triángulos rectángulos semejantes, los catetos son proporcionales.

 

 

La tentación ahora, es usar el teorema de Pitágoras para demostrar que las hipotenusas también lo son. Sin embargo ello crearía una dependencia que puede evitarse de la siguiente forma.


 

Fig. 2

De la semejanza de los triángulos rectángulos interiores

y

de donde, por ser y

resulta: ( 2 )

Hay dos maneras de calcular la superficie de cada triángulo, lo que nos da

y por tanto: ( 3 )

Utilizando en esta ecuación las expresiones (2) y (1) resulta

y finalmente: ( 4 )

Por consiguiente, los triángulos rectángulos semejantes tienen sus lados proporcionales.

* Si no hay ángulo recto.

 

Fig. 3

Entonces, utilizando el resultado anterior en los triángulos rectángulos que aparecen al

construir la altura y

también es obvio que

y por lo tanto:

 

Así queda demostrado que si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales.

 

 

  T y T' son semejantes si tienen los lados proporcionales.

 

Para la demostración se construye un triángulo T" semejante a T y se ve que tiene los lados iguales a T'.

Fig. 4

Construimos pues, un triángulo T" tal que .

Al ser se tiene y como se ha tomado

queda que, junto a la hipótesis nos da

 

por lo que y finalmente .

 

 


Copyright © 1999 P. Pescador y C. Moreno