Polígonos modulares de papiroflexia
Objetivo
  • Trabajar algunos aspectos geométricos como ángulos, aristas, vértices, caras, polígonos, ...
  • Trabajar en equipo, repartiendose adecuadamente las tareas para construir los 5 sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octoedro, dodecaedro e icosaedro.
  • Estudiar algunas de sus propiedades básicas, como la forma y número de sus caras, la cantidad de vértices y de aristas y calcular sus correspondientes áreas.
  • Construir algunos polígonos relacionados como icosaedros estrellados.
Introducción
Sólidos regulares o platónicos
La papiroflexia u origami modular es de gran interés por contribuir a adquirir ciertas actitudes y habilidades de forma amena, aparte de aprender geometría. La necesidad de plegar muchas piezas "más o menos iguales" para construir un poliedro potencia el trabajo en equipo, el reparto de tareas, el hacer un buen trabajo para poder unir las piezas (pliegues bien hechos y no de cualquier manera, acuerdos en la forma de doblar las piezas cuando hay dos posibilidades), visión espacial y la satisfacción de terminar el trabajo y obtener el sólido. Por estas y otras razones la papiroflexia constituye una atractiva forma de acercarse a las matemáticas por su riqueza cultural y su gran valor pedagógico.
Materiales
  • Papel blanco o de colores
  • Tijeras
Realización práctica

El origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas. En el origami modular existen diferentes tipos de módulos que varían entre sí tanto por el procedimiento de construcción y la forma del trozo de papel inicial, como por el tipo de poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir principalmente: un vértice, una cara o una arista.

  • Cubos.

Se utilizó el módulo sonobe. Estos módulos son muy populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè. Hay diversas variaciones del módulo que dan lugar a distintos colores en las figuras que se construyen con ellos.

  • Dodecaedros.

Se utilizó un módulo de Silvana Mamino que nos enseñó "José Ignacio" durante un taller de papiroflexia realizado en la VI feria "Madrid por la Ciencia"

  • Tetraedros.
  • Octaedros.
  • Icosaedros.

Se utilizó el módulo de Helena Verrill y Kazuyo Inoue. Este módulo puede ser usado para construir varios poliedros con caras triangulares. Hay dos versiones, una para papel rectángular con una relación entre sus lados A4, que es la que nosotros hemos utilizado, y otra para papel de forma cuadrada.

  • Poliedros estrellados.

Se utilizó el módulo sonobe para su construcción.

Polígonos estrellados
Precauciones
  • Plegar los módulos iguales realizando los pliegues bien hechos y no de cualquier manera.
  • Marcar bien los plieges y no montar partes de papel sobre otras para no dificultar el montaje.
  • Acordar el tamaño del papel y la forma de doblar las piezas cuando hay dos posibilidades.
Explicación científica
Contruyendo un dodecaedro
  • El origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o en otras figuras decorativas. Estos módulos poseen solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí.
  • Esta técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional, poder hacer medidas en él, ... , aunque tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia. Además, los módulos pueden hacerse entre todos montándose después el correspondiente poliedro.
  • Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos. Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aristas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.
  • Varios matemáticos y filósofos, impresionados por la belleza y elegancia lógica de la geometria, han pretendido utilizar las ideas geométricas para explicar el Universo en que vivimos. Uno de los primeros fue Platón, el cual estaba tan prendado de los cinco sólidos regulares que los empleó como la base de una teoria de la materia. En su libro Timeo, escrito hacia el 350 a. C., Platón llevó adelante la sugerencia de que los "cuatro" elementos que se pensaba que componian mundo -el agua, el aire, el agua y la tierra- eran todos ellos agregados sólidos diminutos. Pensaba además que, puesto que el mundo solamente podía estar formado a partir de cuerpos perfectos, tales elementos debían tener la forma de los sólidos regulares. Según Platon, el fuego debe ser un tetraedro al ser el más ligero y punzante de los elementos, la tierra ha de consistir en cubos al ser el más estable de todos, el agua debe ser un icosaedro, el sólido regular que tiene más posibilidades de rodar facilmente, por ser el más móvil y fluido y en cuanto al aire, Platón observó que "el aire es al agua lo que el agua es a la tierra", y concluyó, aunque algo misteriosamente, que el aire debe ser un octaedro. Y finalmente, para no dejar al único sólido regular que queda fuera del cuadro, propuso que el dodecaedro representara la forma del Universo en su totalidad.
  • Por arbitraria y fantastica que pueda parecer la teoría de la materia de Platon a los ojos modernos, la idea de que los sólidos regulares desempenaban un papel fundamental en la estructura del Universo fue tomada en serio en los siglos XVI y XVII cuando Johannes Kepler emprendió su investigación del orden matematico del mundo circundante. En la época de Kepler se conocian seis planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Jupiter y Saturno. Influido por la teoria de Copérnico, de acuerdo con la cual los planetas se mueven alrededor del Sol, Kepler trató de encontrar relaciones numéricas que explicasen por que existian precisamente seis planetas, y por que se hallaban a sus distancias particulares del Sol. Razonó que el número de planetas era seis porque la distancia entre cada par adyacente debía estar relacionada con un determinado sólido regular, que son justamente cinco. Después de algunas pruebas, halló una disposición de sólidos regulares y de esferas tal que cada uno de los seis planetas tenía una órbita sobre una de seis esferas. La esfera externa, sobre la cual se mueve Saturno, contiene un cubo inscrito, y en dicho cubo se inscribe a su vez la esfera de la órbita de Jupiter. En ésta se halla inscrito un tetraedro, y Marte se mueve en la esfera inscrita en esta figura. El dodecaedro inscrito en la esfera de la órbita de Marte tiene a la órbita de la Tierra como su esfera inscrita, en la cual el icosaedro inscrito tiene inscrita a su vez la esfera de la órbita de Venus. Finalmente, el octaedro inscrito en la esfera de la órbita de Venus tiene una esfera inscrita, en la cual descansa la órbita de Mercurio.
  • Aunque Kepler quedó satisfecho con lo que había obtenido este modelo tenía varias incongruencias: En primer lugar, la correspondencia entre las esferas anidadas y las órbitas planetarias no es realmente exacta. Kepler había obtenido datos precisos de las órbitas planetarias y era consciente de las discrepancias, y trató de ajustar su modelo adoptando esferas de distinto espesor, sin dar razón alguna del porqué de esas diferencias de espesor. En Segundo lugar, como sabemos ahora, no hay seis sino al menos nueve planetas. Urano, Neptuno y Plutón fueron descubiertos con posterioridad a la época de Kepler.
Bibliografía

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